Es gibt keine Zwangsarbeit. Wenn Du beim alten Arbeitgeber in den Sack haust, ohne die Kündigungsfrist einzuhalten, kann er Dich nicht zwingen, weiter zu kommen, und er kann Dich nicht daran hindern, woanders zu arbeiten.
Negative Folgen gibt es nur zwei: Du wirst u. U. vom alten Arbeitgeber ein schlechtes Zeugnis bekommen und der alte Arbeitgeber kann Dich auf Schadenersatz in Anspruch nehmen, wenn er einen durch Deinen vorzeitigen Abgang entstandenen Schaden nachweisen kann, der über den Lohn, den er Dir natürlich nicht mehr zahlen muß, hinausgeht.
Das weiß auch der alte Arbeitgeber, und wenn er vernüntig ist, dann wird er wahrscheinlich auch einer einvernehmlichen vorzeitigen Beendigung zustimmen, wenn Du eine neue Stelle hast und weg willst.
Ich würde nicht kündigen, bevor ich eine neue Stelle habe. Es macht sich in Bewerbungen immer gut, wenn Du schreiben kannst, daß Du Dich aus einer ungekündigten Anstellung heraus bewirbst.
Ich habe meinen letzten Job erst gekündigt, als ich den neuen in der Tasche hatte. Allerdings hatte ich damals auch nur vier Wochen Kündigungsfrist.
Deine Kündigungsfristen ergeben sich aus dem Arbeitsvertrag, ggf. aus dem für Dein Arbeitsverhältnis geltenden Tarifvertrag und aus § 622 BGB.